电容基础知识（一）——公式篇

电容，和电感、电阻一起，是电子学三大基本无源器件；电容的功能就是以电场能的形式储存电能量。这篇文章就先介绍一下电容相关的公式，便于后续电路的理论计算。

以平行板电容器为例，简单介绍下电容的基本原理（理想电容）。

如上图所示，在两块距离较近、相互平行的金属平板上(平板之间为电介质)加载一个直流电压；稳定后，与电压正极相连的金属平板将呈现一定量的正电荷，而与电压负极相连的金属平板将呈现相等量的负电荷；这样，两个金属平板之间就会形成一个静电场，所以电容是以电场能的形式储存电能量，储存的电荷量为Q。

电容储存的电荷量Q与电压U和自身属性(也就是电容值C)有关，也就是

Q=U*C。

除此之外，还有一个重要公式：

根据这两个公式，可以得出电容的很多特性，例如：

• 电容电压不能突变
• 电容的储能大小
• 电容的电流与电压的相位关系
• 还有电容的容抗为什么是 1/wc

一、电容电压不能突变

根据上面的两个公式得到如下公式：

du/dt 是指电容电压的变化率，如果电容电压发生突变，会导致无限大的电流。尽管在实际电路中，绝对的电压突变不存在，或多或少都会有时间，因此产生的电流总不会真的无穷大，但是有时候也会存在很大的电流。所以，在实际应用中，对电容的放电尤其重要，例如小电容的时候可以通过螺丝刀等金属短接放电，大电容则需要通过水泥电阻放电。

另外，关于电容电压不能突变，也可以参考以往的文章：

二、电容的储能大小

电容的储能，即电容在一定时间内做的功，得出如下公式：

即电容的储能与电容两端电压和电容容值成正比。

三、电容的电流与电压的相位关系

根据上述公式，还能导出电容电流与电压的相位关系，也就是我们常说的，电容电流超前电压 90°。

导出过程是这样的，首先，我们知道，根据傅里叶变换原理，电信号都是可以用傅里叶级数展开的，由无数的正弦波构成，电容的电压也不例外。所以，我们假定电容电压为最简单的单一正弦波，u = U * sin（wt），代入电容的公式，那么我们求得加在电容两端的电流为 C * U * sin（wt+90°），sin（wt+90°）比 sin（wt）超前 90°，所以我们说电容的电流比电压相位超前 90°。

另外，也可以根据麦克斯韦方程组中的全电流定律来推导电容电压和电流的相位关系。

麦克斯韦方程组中的全电流定律：

即电流或变化的电场都可以产生磁场，麦克斯韦将ε(∂E/∂t)定义为位移电流，是一个等效电流，代表着电场的变化。(这里电流代表电流密度，即J)

设交流电压为正弦变化，即：

实际位移电流等于电流密度乘以面积：

根据上述推导出的电容电压和电流的公式，也可以看出电容的电流超前电压 90° 的相位。

四、电容的容抗

根据第三节的推导，将 u/i 即可得到电容的容抗，即

即

Xc = 1/（ωC）= 1/（2πfC）

其中，

Xc——–电容容抗值；欧姆

ω———角频率（角速度）

π———圆周率，约等于 3.14

f———频率

C———电容值 法拉

所以电容的容抗为1/ωC，频率很高时，电容容抗会很小，也就是通高频。也就是说电容在通交流的时候，内部的电场和磁场在相互转换。

直流电压不随时间变化，位移电流ε(∂E/∂t)为 0，直流分量无法通过。

五、电容的损耗角 tanδ、品质因数 Q 和自谐振频率

实际电容的等效模型

以上分析均是基于理想电容的情况，即不考虑寄生电感和电阻的情况。实际电容的特性都是非理想的，有一些寄生效应；因此，需要用一个较为复杂的模型来表示实际电容，常用的等效模型如下：

• 由于介质都不是绝对绝缘的，都存在着一定的导电能力；因此，任何电容都存在着漏电流，以等效电阻Rleak表示；
• 电容器的导线、电极具有一定的电阻率，电介质存在一定的介电损耗；这些损耗统一以等效串联电阻ESR表示；
• 电容器的导线存在着一定的电感，在高频时影响较大，以等效串联电感ESL表示；
• 另外，任何介质都存在着一定电滞现象，就是电容在快速放电后，突然断开电压，电容会恢复部分电荷量，以一个串联RC 电路表示。

大多数时候，主要关注电容的 ESR 和 ESL。即：

先说一下 ESR，纯粹的容性负载是不消耗功率的，而由于 ESR 的存在，电容会做功，从而导致温度上升。我们用仿真软件来看一下 ESR 带来的影响：

图中，10uF 的电容被表示成 10uF+10Ω（ESR），没考虑 ESL。为了说明 ESR 的影响，我特意扩大了 ESR 阻值到 10Ω。可以看到 ESR 上是有电压，这就会做功和发热。

电容的损耗角 tanδ

有些电容的规格书上会描述其 ESR 的阻值，还有些会描述一个“Dissipation factor”的指标，用于表明 ESR 的影响。

Dissipation factor 也叫电容的损耗角，可以理解为 ESR 与容抗的比值，即：电容的损耗角

tanδ = ESR/Xc

图中之所以注明 120Hz 的条件，是因为 Xc 容抗的计算与频率有关。

电容的品质因数 Q

和电感一样，可以定义电容的品质因数，也就是 Q 值，也就是电容的储存功率与损耗功率的比：

Q = (1/ωC)/ESR

Q 值对高频电容是比较重要的参数。

电容的自谐振频率(Self-Resonance Frequency)

由于 ESL 的存在，与 C 一起构成了一个谐振电路，其谐振频率便是电容的自谐振频率。在自谐振频率前，电容的阻抗随着频率增加而变小；在自谐振频率后，电容的阻抗随着频率增加而变大，就呈现感性；如下图所示：

不同种类的电容在不同输入信号频率情况下，阻抗表现很大差异：

六、总结

本篇文章详细描述了电容相关的公式的推导，可便于在后续电路设计和分析中应用。

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